\setcounter{chapter}{2}
\chapter{全纯函数的积分表示\label{chap3}}
本章将要介绍的Cauchy积分定理和Cauchy积分公式是整个全纯函数理论的基础，由它们可以推出一系列重要的结论，例如全纯函数有任意阶导数，而且可以展开成幂级数等.其中，Cauchy积分定理又是最根本的.
\section{复变函数的积分\label{sec3.1}}
设$z=\gamma(t)$（$a\le t\le b$）是一条可求长曲线，$f$是定义在$\gamma$上的函数，沿$\gamma$的正方向取分点$\gamma(a)=z_0,z_1,z_2,\cdots,z_n=\gamma(b)$，在$\gamma$中从$z_{k-1}$到$z_k$的弧段上任取点$\zeta_k,k=1,\cdots,n$（见图 \ref{fig3.1}），作Riemann和
\begin{equation}\label{eq3.1.1}
\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1}).
\end{equation}
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,>=Stealth]
\draw(-4,0)node[below]{$z_0=\gamma(a)$}arc(180:90:4)node[right]{$z_n=\gamma(b)$};
\foreach \x in {180,170,155,140,130,125,120,105,90}
\fill(\x:4)circle(1pt);
\draw(170:4)node[left]{$z_1$}(130:4)node[above left]{$z_{k-1}$}
(125:4)node[below right]{$\zeta_k$}(120:4)node[above left]{$z_k$};
\end{tikzpicture}
\caption{\label{fig3.1}}
\end{figure}
用$s_k$记弧段$\wideparen{z_{k-1}z_k}$的长度，如果当$\lambda=\max\{s_k:1\le k\le n\}\to0$时，不论$\zeta_k$的取法如何，和式 \eqref{eq3.1.1} 总有一确定的极限，就称此极限为$f$沿
$\gamma$的积分，记为$\int\limits_\gamma f(z)\dz$，即
\[\int\limits_\gamma f(z)\dz=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1}).\]

什么情况下上述极限存在呢?事实上，只要$f$在$\gamma$上连续，上述积分一定存在.为了证明这一点，记$z_k=x_k+\ii y_k,\zeta_k=\xi_k+\ii\eta_k,f(\zeta_k)=u(\xi_k,\eta_k)+\ii v(\xi_k,\eta_k)$，于是和式 \eqref{eq3.1.1} 便可写成
\[\sum_{k=1}^n\{u(\xi_k,\eta_k)\Delta x_k-v(\xi_k,\eta_k)\Delta y_k\}
+\ii\sum_{k=1}^n\{v(\xi_k,\eta_k)\Delta x_k+u(\xi_k,\eta_k)\Delta y_k\},\]
这里，$\Delta x_k=x_k-x_{k-1},\Delta y_k=y_k-y_{k-1}$. 当$u,v$在$\gamma$上连续时，上述和当$\lambda\to0$时趋于曲线积分
\[\int\limits_\gamma u\dx-v\dy+\ii\int\limits_\gamma v\dx+u\dy.\]
这样，我们就证明了
\begin{prop}\label{prop3.1.1}
设$f=u+\ii v$在可求长曲线$\gamma$上连续，则有
\begin{equation}\label{eq3.1.2}
\int\limits_\gamma f(z)\dz=\int\limits\limits_\gamma u\dx-v\dy+\ii\int_\gamma v\dx+u\dy.
\end{equation}
\end{prop}

这个公式通过下面的形式计算很容易记住：
\begin{align*}
f(z)\dz&=(u+\ii v)(\dx+\ii\dy)\\
&=(u\dx-v\dy)+\ii(v\dx+u\dy).
\end{align*}

如果曲线是光滑的，还可以通过曲线的参数方程来计算积分.
\begin{prop}\label{prop3.1.2}
如果$z=\gamma(t)$（$a\le t\le b$）是光滑曲线，$f$在$\gamma$上连续，那么
\begin{equation}\label{eq3.1.3}
\int\limits_\gamma f(z)\dz=\int_a^bf\big(\gamma(t)\big)\gamma'(t)\textrm dt.
\end{equation}
\end{prop}
\begin{proof}
设$z=\gamma(t)=x(t)+\ii y(t)$，在所设的条件下，有
\begin{align*}
&\int\limits_\gamma u\dx-v\dy=\int_a^b\big[u\big(x(t),y(t)\big)x'(t)-v\big(x(t),y(t)\big)y'(t)\big]\textrm dt,\\
&\int\limits_\gamma v\dx+u\dy=\int_a^b\big[v\big(x(t),y(t)\big)x'(t)+u\big(x(t),y(t)\big)y'(t)\big]\textrm dt.
\end{align*}
第二式乘$\ii$后与第一式相加，即得
\begin{align*}
\int\limits_\gamma f(z)\dz&=\int_a^b\big[u\big(x(t),y(t)\big)+\ii v\big(x(t),y(t)\big)\big]\big(x'(t)+\ii y'(t)\big)\textrm dt\\
&=\int_a^bf\big(\gamma(t)\big)\gamma'(t)\textrm dt.
\end{align*}
\end{proof}
\begin{example}\label{exam3.1.3}
设可求长曲线$z=\gamma(t)$（$a\le t\le b$）的起点为$\alpha$，终点为$\beta$，证明：
\begin{align*}
  &\int\limits_\gamma\dz=\beta-\alpha,\\
  &\int\limits_\gamma z\dz=\frac12(\beta^2-\alpha^2).
\end{align*}
\end{example}
\begin{proof}
若$\gamma$是光滑曲线，由公式 \eqref{eq3.1.3}，得
\begin{align*}
&\int\limits_\gamma \dz=\int_a^b\gamma'(t)\textrm dt=\gamma(b)-\gamma(a)=\beta-\alpha,\\
&\int\limits_\gamma z\dz=\int_a^b\gamma(t)\gamma'(t)\textrm dt
=\frac12\gamma^2(t)\bigg|_a^b=\frac12\big(\gamma^2(b)-\gamma^2(a)\big)
=\frac12(\beta^2-\alpha^2).
\end{align*}
如果$\gamma$不是光滑曲线，可直接按积分的定义计算：
\begin{align*}
&\int\limits_\gamma\dz=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n(z_k-z_{k-1})
=z_n-z_0=\beta-\alpha.\\
&\int\limits_\gamma z\dz=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nz_k(z_k-z_{k-1}),\\
&\int\limits_\gamma z\dz=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nz_{k-1}(z_k-z_{k-1}),
\end{align*}
把两式加起来，得
\begin{equation*}
\int\limits_\gamma z\dz=\frac12\lim_{\lambda\to0}
\sum_{k=1}^n(z_k^2-z_{k-1}^2)=\frac12(z_n^2-z_0^2)=\frac12(\beta^2-\alpha^2).
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{example}\label{exam3.1.4}
计算积分$\int\limits_\gamma\frac{\dz}{(z-a)^n}$，这里，$n$是任意整数，$\gamma$是以$a$维中心、以$r$为半径的圆周.
\end{example}
\begin{solution}
$\gamma$的参数方程为$z=a+r\ee^{\ii t},0\le t\le2\pi$. 由公式 \eqref{eq3.1.3}，得
\[\int\limits_\gamma\frac{\dz}{(z-a)^n}=\int_0^{2\pi}\frac{r\ii\ee^{\ii t}}{r^n\ee^{\ii nt}}\textrm dt=r^{1-n}\ii\int_0^{2\pi}\ee^{\ii(1-n)t}\textrm dt.\]
所以，上述积分当$n\ne1$时为零，当$n=1$时为$2\pi\ii$，即
\begin{equation*}\int\limits_\gamma\frac{\dz}{(z-a)^n}=\begin{cases}
0,&n\ne1;\\
2\pi\ii,&n=1.
\end{cases}
\end{equation*}
\end{solution}

由积分的定义，可以马上得到
\begin{prop}\label{prop3.1.5}
如果$f,g$在可求长曲线$\gamma$上连续，那么
\begin{eenum}
  \item \label{prop3.1.5.1} $\int\limits_{\gamma^-}f(z)\dz=-\int\limits_\gamma f(z)\dz$，这里，$\gamma^-$是指与$\gamma$方向相反的曲线；
  \item \label{prop3.1.5.2} $\int\limits_\gamma\big(\alpha f(z)+\beta g(z)\big)\dz
  =\alpha\int\limits_\gamma f(z)\dz+\beta\int\limits_\gamma g(z)\dz$，这里，$\alpha,\beta$是两个复常数；
  \item \label{prop3.1.5.3} $\int\limits_\gamma f(z)\dz=\int\limits_{\gamma_1}f(z)\dz+\int\limits_{\gamma_2}f(z)\dz$，这里，$\gamma$是由$\gamma_1$和$\gamma_2$组成的曲线.
\end{eenum}
\end{prop}

\begin{prop}\label{prop3.1.6}
如果$\gamma$的长度为$L,M=\sup_{z\in\gamma}|f(z)|$，那么
\begin{equation}\label{eq3.1.4}
\bigg|\int\limits_\gamma f(z)\dz\bigg|\le ML.
\end{equation}
\end{prop}
\begin{proof}
  $f$在$\gamma$上的Riemann和有不等式
\begin{align*}
\bigg|\sum_{k=1}^nf(\zeta_k)(z_k-z_{k-1})\bigg|&
\le\sum_{k=1}^n|f(\zeta_k)|\,|z_k-z_{k-1}|\\
&\le M\sum_{k=1}^n|z_k-z_{k-1}|\le ML,
\end{align*}
令$\lambda=\max_{1\le k\le n}s_k\to0$，即得所要的表达式.
\end{proof}

这个不等式很简单，但很重要，是我们今后估计积分的主要工具，可简称为\textbf{长大不等式}.\index{B!不等式!长大不等式}

\begin{xiti}
\item 计算积分$\int\limits_\gamma\frac{2z-3}z\dz$，其中，$\gamma$为
\begin{enuma}
  \item 沿圆周$\{z:|z|=2\}$的上半圆，从$-2$到$2$；
  \item 沿圆周$\{z:|z|=2\}$的下半圆，从$-2$到$2$；
  \item 沿圆周$\{z:|z|=2\}$的正向.
\end{enuma}
\item 计算积分$\int\limits_{|z|=1}\frac{\dz}{z+2}$，并证明：
\[\int_0^\pi\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}\textrm d\theta=0.\]
\item 计算积分$\int\limits_{|z|=3}\frac{2z-1}{z(z-1)}\dz$.
\item 如果多项式$Q(z)$比多项式$P(z)$高两次，试证：
\[\lim_{R\to\infty}\int\limits_{|z|=R}\frac{P(z)}{Q(z)}\dz=0.\]
\item 计算积分$\int\limits_{|z|=r}z^n\bar z^k\dz$，其中，$n,k$为整数.
\item 设$f\in C^1(D)$，$\gamma$是域$D$中分别以$a$和$b$为起点和终点的可求长曲线. 证明：
\[\int\limits_\gamma\bigg\{\pp{f(z)}z\dz+\pp{f(z)}{\bar z}\textrm d\bar z\bigg\}=f(b)-f(a).\]
\item 设$\gamma$是可求长曲线，$\varphi$在$\gamma$上全纯，$\Gamma=\varphi(\gamma)$. 证明：
\begin{enuma}
  \item $\Gamma$也是可求长曲线；
  \item 如果$f$在$\Gamma$上连续，那么
  \[\int\limits_\Gamma f(w)\textrm dw=\int\limits_\gamma f\big(\varphi(z)\big)\varphi'(z)\dz.\]
\end{enuma}
\item 设$\gamma$是域$D$中以$a$为起点、以$b$为终点的可求长曲线，$f,g\in H(D)\cap C^1(D)$. 证明分部积分公式：
    \[\int\limits_\gamma f(z)g'(z)\dz=f(z)g(z)\bigg|_a^b-\int\limits_\gamma f'(z)g(z)\dz.\]
\item 设$\gamma$是正向可求长简单闭曲线，证明：$\gamma$内部的面积为
\[\frac1{2\ii}\int\limits_\gamma\bar z\dz.\]
\item 设单叶全纯映射$f$将可求长简单闭曲线$\gamma$映为正向简单闭曲线$\Gamma$，证明：$\Gamma$内部的面积为
    \[\frac1{2\ii}\int\limits_\gamma\bar{f(z)}f'(z)\dz.\]
\item 设$f$在$z_0$处连续，证明：
\begin{enuma}
  \item $\lim_{r\to0}\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+r\ee^{\ii\theta})\textrm d\theta=f(z_0)$；
  \item $\lim_{r\to0}\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}\dz=f(z_0)$.
\end{enuma}
\item 设$D=\{z\in\MC:\theta_0<\arg(z-a)<\theta_0+\alpha\}$（$0<\alpha\le2\pi$），$f$在$\bar D\backslash\{a\}$上连续. 证明：
\begin{enuma}
  \item 如果$\lim_{\substack{z\to a\\z\in\bar D\backslash\{a\}}}(z-a)f(z)=A$，那么
  \[\lim_{r\to0}\int\limits_{\substack{|z-a|=r\\z\in\bar D}}f(z)\dz=\ii\alpha A;\]
  \item 如果$\lim_{\substack{z\to \infty\\z\in\bar D\backslash\{a\}}}(z-a)f(z)=B$，那么
  \[\lim_{R\to\infty}\int\limits_{\substack{|z-a|=R\\z\in \bar D}}f(z)\dz=\ii\alpha B;\]
\end{enuma}
\item 设$D$是域，$f\in C^1(D)$.证明：$f$在$D$上全纯的充分必要条件是对任意$a\in D$，均有
\[\lim_{r\to0}\frac1{\pi r^2}\int\limits_{|z-a|=r}f(z)\dz=0.\]
\end{xiti}

\section{Cauchy积分定理\label{sec3.2}}
设$D$是$\MC$中的单连通域，$f$是$D$中的连续函数.一般来说，对$D$中任意两条具有相同起点和终点的曲线，$f$在其上的积分是不相等的，即$f$的积分与路径有关.我们问，在什么条件下，$f$的积分与路径无关?这等价于说，在什么条件下，$f$沿任一闭曲线的积分为零? Cauchy定理回答了这个问题.
\begin{theorem}[（\textbf{Cauchy}）]\label{thm3.2.1}\index{D!定理!Cauchy积分定理}
设$D$是$\MC$中的单连通域，$f\in H(D)$，且$f'$在$D$中连续，则对$D$中任意的可求长闭曲线$\gamma$，均有
\[\int\limits_\gamma f(z)\dz=0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
由$\gamma$围成的域记为$G$，因为$f'$连续，即$\pp ux,\pp vx,\pp uy,\pp vy$连续，故可用Green公式. 又因$f$在$D$中全纯，故Cauchy--Riemann 方程成立. 于是
\begin{align*}
&\int\limits_\gamma u\dx-v\dy=\iint\limits_G\bigg(-\pp vx-\pp uy\bigg)\dx\dy=0,\\
&\int\limits_\gamma v\dx+u\dy=\iint\limits\bigg(\pp ux-\pp vy\bigg)\dx\dy=0.
\end{align*}
由命题 \ref{prop3.1.1}，即得
\begin{equation*}\int\limits_\gamma f(z)\dz=0\end{equation*}
\end{proof}

Cauchy于1825年得到的积分定理就是定理 \ref{thm3.2.1} 这种形式，除了假定$f$全纯外，还要假定$f'$连续.1900年，Goursat 改进了上面的证明，发现不必假定$f'$连续，仍可得到同样的结论，但证明当然要困难得多.

为此，我们先证明下面的引理：
\begin{lemma}\label{lemma3.2.2}
设$f$是域$D$中的连续函数，$\gamma$是$D$内的可求长曲线.对于任给的$\varepsilon>0$，一定存在一条$D$中的折线$P$，使得
\begin{eenum}
  \item $P$和$\gamma$有相同的起点和终点，$P$中其他的顶点都在$\gamma$上；
  \item $\bigg|\int\limits_\gamma f(z)\dz-\int\limits_Pf(z)\dz\bigg|<\varepsilon$.
\end{eenum}
\end{lemma}
\begin{proof}
因为$\partial D$是一个闭集，$\gamma$是一个紧集，且两者不相交，根据定理 \ref{thm1.5.6}，$d(\gamma,\partial D)=\rho>0$.作域$G$，使得$\gamma\subset\bar G\subset D$.因为$f$在$\bar G$上连续，故必一致连续.于是，对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$z',z''\in\bar G,|z'-z''|<\delta$时，$|f(z')-f(z'')|<\frac{\varepsilon}{2L}$，这里，$L$是$\gamma$的长度.现取$\eta=\min\{\rho,\delta\}$.在$\gamma$上取分点$z_0,z_1,\cdots,z_n$，使得每一个弧段$\wideparen{z_{k-1}z_k}$的长度都小于$\eta$，这里，$z_0,z_n$分别记为$\gamma$的起点和终点.连接$z_{k-1}$和$z_k$（$k=1,\cdots,n$），就得到一条折线$P$，它与$\gamma$有相同的起点和终点，且其他顶点都在$\gamma$上.由于$|z_{k-1}-z_k|<\eta\le\rho$，所以线段$\bar{z_{k-1}z_k}$都在$D$内，即折线$P$都在$D$内.

现在估计下面的积分差，记$\gamma_k=\wideparen{z_{k-1}z_k},P_k=\bar{z_{k-1}z_k}$，则有
\begin{align*}
\bigg|\int\limits_{\gamma_k} f(z)\dz-\int\limits_{P_k}f(z)\dz\bigg|\le{}&\bigg|\int\limits_{\gamma_k} f(z)\dz-f(z_{k-1})(z_k-z_{k-1})\bigg|\\
&+\bigg|\int\limits_{P_k} f(z)\dz-f(z_{k-1})(z_k-z_{k-1})\bigg|\\
={}&\bigg|\int\limits_{\gamma_k} f(z)\dz-\int\limits_{\gamma_k} f(z_{k-1})\dz\bigg|+\bigg|\int\limits_{P_k} f(z)\dz-\int\limits_{P_k} f(z_{k-1})\dz\bigg|\\
&=\bigg|\int\limits_{\gamma_k}\big(f(z)-f(z_{k-1})\big)\dz\bigg|
+\bigg|\int\limits_{P_k}\big(f(z)-f(z_{k-1})\big)\dz\bigg|.
\end{align*}
当$z\in\gamma_k$或$P_k$时，都有$|z-z_{k-1}|<\eta\le\delta$，因而$|f(z)-f(z_{k-1})|
<\frac{\varepsilon}{2L}$. 对上面两个积分用长大不等式，它们都不超过$\frac{\varepsilon}{2L}|\gamma_k|$，因而
\begin{align*}
\bigg|\int\limits_\gamma f(z)\dz-\int\limits_Pf(z)\dz\bigg|&\le
\sum_{k=1}^n\bigg|\int\limits_{\gamma_k} f(z)\dz-\int\limits_{P_k}f(z)\dz\bigg|\\
&<\frac{\varepsilon}{L}\sum_{k=1}^n|\gamma_k|=\varepsilon.
\end{align*}
故折线$P$完全符合定理的要求.
\end{proof}

现在可以证明
\begin{theorem}[（\textbf{Cauchy--Goursat}）]\label{thm3.2.3}\index{D!定理!Cauchy--Goursat定理}
设$D$是$\MC$中的单连通域，如果$f\in H(D)$，那么对$D$中任意的可求长闭曲线$\gamma$，均有
\[\int\limits_\gamma f(z)\dz=0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
证明分为下面三步：

（1）\hypertarget{thm3.2.3.1} 先假定$\gamma$是一个三角形的边界.

如果$\bigg|\int\limits_\gamma f(z)\dz\bigg|=M$，我们证明$M=0$.连接三角形三边的中点，把三角形分成四个全等的小三角形（图 \ref{fig3.2}），这四个小三角形%
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,>={Stealth[width=3pt]}]
\tkzDefPoints{0/0/A,6/0/B,2/5/C}
\tkzDefMidPoint(A,B)\tkzGetPoint{D}
\tkzDefMidPoint(B,C)\tkzGetPoint{E}
\tkzDefMidPoint(A,C)\tkzGetPoint{F}
\foreach \x/\y in {A/D,D/B,B/E,E/C,C/F,F/A}
\coordinate(\x\y)at($(\x)!0.5!(\y)$);
\draw(A)--(B)--(C)--(A)(F)--(E)--(D)--(F);
\foreach \x/\y in {A/AD,D/DB,B/BE,E/EC,C/CF,F/FA}
\draw[->](\x)--(\y);
\foreach \x/\y in {D/E,E/F,F/D}
{\coordinate(\x\y)at($(\x)!0.25!(\y)$);
\coordinate(\y\x)at($(\y)!0.25!(\x)$);}
\draw[->]([yshift=3pt]FE)--([yshift=3pt]EF);
\draw[->]([yshift=-3pt]EF)--([yshift=-3pt]FE);
\draw[->]([shift={(38.66:3pt)}]FD)--([shift={(38.66:3pt)}]DF);
\draw[->]([shift={(-141.34:3pt)}]DF)--([shift={(-141.34:3pt)}]FD);
\draw[->]([shift={(-21.8:3pt)}]ED)--([shift={(-21.8:3pt)}]DE);
\draw[->]([shift={(158.2:3pt)}]DE)--([shift={(158.2:3pt)}]ED);
\end{tikzpicture}
\caption{\label{fig3.2}}
\end{figure}
的边界分别记为$\gamma^{(1)},\gamma^{(2)},\gamma^{(3)}$和$\gamma^{(4)}$. 让$f$沿这四个小三角形的边界积分，从图中可以看出，中间那个小三角形的边界被来回走了两次，$f$在其上的积分恰好抵消，剩下的积分的和正好等于大三角形边界上的积分，即
\[\int\limits_\gamma f(z)\dz=\int\limits_{\gamma^{(1)}} f(z)\dz+\int\limits_{\gamma^{(2)}} f(z)\dz+
\int\limits_{\gamma^{(3)}}f(z)\dz+\int\limits_{\gamma^{(4)}} f(z)\dz,\]
或者
\[M=\bigg|\int\limits_\gamma f(z)\dz\bigg|\le\bigg|\int\limits_{\gamma^{(1)}} f(z)\dz\bigg|+\bigg|\int\limits_{\gamma^{(2)}} f(z)\dz\bigg|+
\bigg|\int\limits_{\gamma^{(3)}}f(z)\dz\bigg|+\bigg|\int\limits_{\gamma^{(4)}} f(z)\dz\bigg|.\]
因此必有一个小三角形$\varDelta_1$，它的边界记为$\gamma_1$，$f$在其上的积分满足$\bigg|\int\limits_{\gamma_1}f(z)\dz\bigg|\ge\frac M4$.把$\varDelta_1$再分成四个全等的小三角形，按照同样的推理，其中又有一个小三角形$\varDelta_2$，它的边界记为$\gamma_2$，$f$在其上的积分满足$\bigg|\int\limits_{\gamma_2}f(z)\dz\bigg|\ge\frac M{4^2}$.这个过程可以一直进行下去，我们得到一串三角形$\varDelta_n$，记它们的边界为$\gamma_n$，这串三角形具有下列性质：

\begin{eenum}
  \item \label{3.2.3.1}$\varDelta\supset\varDelta_1\cdots\supset\varDelta_n\cdots$；
  \item \label{3.2.3.2} $\diam\varDelta_n\to0$（$n\to\infty$）；
  \item \label{3.2.3.3}$|\gamma_n|=\frac{L}{2^n},n=1,2,\cdots$，这里，$L$为$\gamma$的长度；
  \item \label{3.2.3.4}$\bigg|\int\limits_{\gamma_n}f(z)\dz\bigg|\ge\frac M{4^n},n=1,2,\cdots$.
\end{eenum}

由 \ref{3.2.3.1} 和 \ref{3.2.3.2}，根据第 \ref{chap1} 章 \ref{sec1.5} 节中的Cantor定理（定理 \ref{thm1.5.3}），存在唯一的$z_0\in\varDelta_n$（$n=1,2,\cdots$）.因为$D$是单连通的，所以$z_0\in D$. 由于$f$在$z_0$处全纯，故对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$0<|z-z_0|<\delta$时，成立
\begin{equation*}
\bigg|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\bigg|<\varepsilon,
\end{equation*}
即
\begin{equation}\label{eq3.2.1}
|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|<\varepsilon|z-z_0|.
\end{equation}
取$n$充分大，使得$\varDelta_n\subset B(z_0,\delta)$，故当$z\in\gamma_n$时，\eqref{eq3.2.1} 式成立. 显然，$z\in\gamma_n$时，$|z-z_0|<|\gamma_n|=\frac L{2^n}$. 因而，当$z\in\gamma_n$时，有
\begin{equation}\label{eq3.2.2}
|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|<\frac{\varepsilon L}{2^n}.
\end{equation}
因为$\gamma_n$是闭曲线，由例 \ref{exam3.1.3} 知道，有
\[\int\limits_{\gamma_n}\dz=0,\quad\int\limits_{\gamma_n}z\dz=0.\]
于是有
\begin{align*}
   &\int\limits_{\gamma_n}[f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)]\dz\\
={}&\int\limits_{\gamma_n}f(z)\dz-f(z_0)\int\limits_{\gamma_n}\dz
-f'(z_0)\int\limits_{\gamma_n}z\dz+z_0f'(z_0)\int\limits_{\gamma_n}\dz\\
={}&\int\limits_{\gamma_n}f(z)\dz.
\end{align*}
利用 \eqref{eq3.2.2} 式、\ref{3.2.3.3} 和长大不等式，即得
\[\bigg|\int\limits_{\gamma_n}f(z)\dz\bigg|\le\frac{\varepsilon L}{2^n}=\varepsilon
\bigg(\frac{L}{2^n}\bigg)^2.\]
再由 \ref{3.2.3.4}，可得$M\le\varepsilon L^2$.又因为$\varepsilon$是任意小的正数，所以$M=0$.

（2）假定$\gamma$是一个多边形的边界.\\[2mm]
\noindent\begin{minipage}{0.7\textwidth}\parindent=2em
从图 \ref{fig3.3} 可以看出，我们可以把多边形分解成若干个三角形.与刚才的道理一样，$f$沿$\gamma$的积分等于沿各个三角形边界积分的和，由\hyperlink{thm3.2.3.1}{（1）}已知沿三角形边界的积分为零，因而
\[\int\limits_\gamma f(z)\dz=0.\]

（3）假定$\gamma$是一般的可求长闭曲线.根据引理 \ref{lemma3.2.2}，在$D$内存在闭折线$P$，使得
\begin{equation}\label{eq3.2.3}
\bigg|\int\limits_\gamma f(z)\dz-\int\limits_Pf(z)\dz\bigg|<\varepsilon,
\end{equation}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},>={Stealth[width=3pt]}]
\tkzDefPoints{0/0/O,4/0/A,2.2/1.8/B,0/-2.2/C,1.9/-2/D,1.9/-0.5/E}
\draw(A)--(B)--(O)--(C)--(D)--(E)--cycle;
\draw[densely dashed](O)--(E)(O)--(A)(C)--(E);
\foreach \x/\y in {B/O,A/B,O/C,C/D,D/E,E/A}
{
\coordinate(\x\y)at($(\x)!0.5!(\y)$);
\draw[->](\x)--(\x\y);
}
\foreach \x/\y in{O/A,O/E,C/E}
{\coordinate(\x\y)at($(\x)!0.4!(\y)$);
 \coordinate(\y\x)at($(\y)!0.4!(\x)$);
}
\draw[->]([yshift=3pt]OA)--([yshift=3pt]AO);
\draw[->]([yshift=-3pt]AO)--([yshift=-3pt]OA);
\draw[->]([shift={(75:3pt)}]OE)--([shift={(75:3pt)}]EO);
\draw[->]([shift={(-105:3pt)}]EO)--([shift={(-105:3pt)}]OE);
\draw[->]([shift={(135:3pt)}]CE)--([shift={(135:3pt)}]EC);
\draw[->]([shift={(-45:3pt)}]EC)--([shift={(-45:3pt)}]CE);
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{\label{fig3.3}}
\end{minipage}
这里，$\varepsilon$是任意事先给定的正数. 由 \eqref{eq3.2.2} 和 \eqref{eq3.2.3} 式即知
\begin{equation*}
\int\limits_\gamma f(z)\dz=0.
\end{equation*}
\end{proof}

注意，对于非单连通的域，定理不一定成立.例如，$D$是除去原点的单位圆盘，$f(z)=\frac1z$当然在$D$中全纯，若设$\gamma=\{z:|z|=r<1\}$，则由例 \ref{exam3.1.4} 知，$\int\limits_\gamma\frac{\dz}z=2\pi\ii\ne0$.

但是，定理 \ref{thm3.2.3} 的条件可以有下列形式的减弱：
\begin{theorem}\label{thm3.2.4}
设$D$是可求长简单闭曲线$\gamma$的内部，若$f\in H(D)\cap C(\bar D)$，则
\[\int\limits_\gamma f(z)\dz=0.\]
\end{theorem}
\begin{proof}
这里已不再假定$f$在积分路径$\gamma$上全纯，而代之以在闭域$D$上连续，条件确实是减弱了.一般地，证明这个定理还需要一些其他的知识，我们这里对$\gamma$附加两个条件：
\begin{eenum}
\item $\gamma$是逐段光滑的；
\item 在$D$中存在点$z_0$，使得从$z_0$出发的每条射线与$\gamma$只有一个交点.例如，凸多边形和圆盘都满足这两个条件.
\end{eenum}

在所设的两个条件下，$\gamma$的方程可以写成
\[z=z_0+\lambda(t),a\le t\le b.\]
记
\begin{align*}
&p=\max\{|\lambda(t)|:a\le t\le b\},\\
&q=\max\{|\lambda'(t)|:a\le t\le b\}.
\end{align*}
由于$f$在$\bar D$上连续，故必一致连续，故对任意的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$z_1,z_2\in\bar D$，且$|z_1-z_2|<\delta$时，有$|f(z_1)-f(z_2)|<\varepsilon$.今取$\delta_0<\min\{\delta,p\}$，于是$\frac{\delta_0}p<1$. 取$\rho$，使得$1-\frac{\delta_0}p<\rho<1$. 记$\gamma_\rho$为曲线
\[z=z_0+\rho\lambda(t),1\le t\le b,\]
则显然有$\gamma_\rho\subset D$. 由定理 \ref{thm3.2.3}，成立
\[\int\limits_{\gamma_\rho}f(z)\dz=\int_a^bf\big(z_0+\rho\lambda(t)\big)
\rho\lambda'(t)\textrm dt=0,\]
即
\[\int_a^bf\big(z_0+\rho\lambda(t)\big)\lambda'(t)\mathrm dt=0.\]
由于
\[\big|[z_0+\rho\lambda(t)]-[z_0+\lambda(t)]\big|=(1-\rho)|\lambda(t)|
\le(1-\rho)p<\delta_0<\delta.\]
所以
\[\big|f\big(z_0+\lambda(t)\big)-f\big(z_0+\rho\lambda(t)\big)\big|<\varepsilon.\]
于是
\begin{align*}
\bigg|\int\limits_\Gamma f(z)\dz\bigg|&=\bigg|\int_a^bf\big(z_0+\lambda(t)\big)\lambda'(t)\textrm dt\bigg|\\
&=\bigg|\int_a^b\big[f\big(z_0+\lambda(t)\big)-f\big(z_0+\rho\lambda(t)\big)\big]
\lambda'(t)\textrm dt\bigg|\\
&\le\int_a^b\big|f\big(z_0+\lambda(t)\big)-f\big(z_0+
\rho\lambda(t)\big)\big|\,|\lambda'(t)|\textrm dt\\
&<\varepsilon q(b-a).
\end{align*}
由于$\varepsilon>0$是任意的，所以
\begin{equation*}
\int\limits_\gamma f(z)\dz=0.
\end{equation*}
\end{proof}

在下面的意义下，Cauchy积分定理在多连通域内也成立.设$\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_n$是$n+1$条可求长的简单闭曲线，如果$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$都在$\gamma_0$的内部，$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$中的每一条都在其他$n-1$条的外部，这样的$n+1$条曲线就围成了一个$n+1$连通域$D$，这个域$D$的边界$\gamma$由$\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_n$共$n+1$条曲线组成. $\gamma$的正方向规定如下：当我们沿着$\gamma$的正方向运动时，$D$总是在我们的左边.这时，对$\gamma_0$来说是逆时针方向，而对$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$则是顺时针方向.对于这样的域和边界，Cauchy 积分定理也成立.
\begin{theorem}\label{thm3.2.5}
设$\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_n$是$n+1$条可求长简单闭曲线，$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$都在$\gamma_0$的内部，$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$中的每一条都在其他$n-1$条的外部，$D$是由这$n+1$条曲线围成的域，用$\gamma$记$D$的边界.如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$，那么
\begin{equation}\label{eq3.2.4}
\int\limits_\gamma f(z)\dz=0,
\end{equation}
这里，积分沿$\gamma$的正方向进行. \eqref{eq3.2.4} 式也可写为
\begin{equation}\label{eq3.2.5}
\int\limits_{\gamma_0}f(z)\dz=\int\limits_{\gamma_1}f(z)\dz+
\cdots+\int\limits_{\gamma_n}f(z)\dz,
\end{equation}
\eqref{eq3.2.5} 式右端的积分分别沿$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$的逆时针方向进行.
\end{theorem}
\noindent\begin{minipage}{0.65\textwidth}
\parindent=2em
\begin{proof}
如图 \ref{fig3.4} 所示，我们用一些辅助线把几个``洞''连接起来，这样，$D$就被分成若干个单连通域。由定理 \ref{thm3.2.4}，沿每个单连通域的边界的积分为零，若干个单连通域的边界积分之和仍为零.由于在辅助线上的积分来回各进行一次，正好抵消，所以总和恰好就是$\gamma$上的积分，因而 \eqref{eq3.2.4} 式成立.
而
\begin{equation*}
\int\limits_{\gamma}f(z)\dz=\int\limits_{\gamma_0}f(z)\dz+\int\limits_{\gamma_1^-}f(z)\dz+
\cdots+\int\limits_{\gamma_n^-}f(z)\dz,
\end{equation*}
移项即得 \eqref{eq3.2.5} 式.
\end{proof}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,>={Stealth[width=3.5pt]},rotate=45,scale=0.8]
\draw(0,0)ellipse(4 and 2.2);
\foreach \x in {30,90,150,210,260,300.360}
\draw[->,semithick](4,0)arc(0:\x: 4 and 2.2);

\draw[rotate around={17:(-1,0.2)}](-1,0.5)arc(0:360:1 and 0.5);
\foreach \x in {-90,-240,-325}
\draw[rotate around={17:(-1,0.2)},->,thin](-1,0.5)arc(0:\x: 1 and 0.5);

\begin{scope}[shift={(3.2,0.5)}]
\draw[rotate around={17:(-1,0.2)}](-1,0.5)arc(0:360:1 and 0.5);
\foreach \x in {-240,-330}
\draw[rotate around={17:(-1,0.2)},->,thin](-1,0.5)arc(0:\x: 1 and 0.5);
\end{scope}

\begin{scope}[shift={(2.4,-1.2)},scale=0.8]
\draw[rotate around={17:(-1,0.2)}](-1,0.5)arc(0:360:1 and 0.5);
\foreach \x in {-60,-140,-260}
\draw[rotate around={17:(-1,0.2)},->,thin](-1,0.5)arc(0:\x: 1 and 0.5);
\end{scope}

\draw(-2,0.72)[bend right=5]to(-2,1.9);
\draw[->](-2.1,1)[bend right=5]to(-2.1,1.7);
\draw[->](-1.88,1.7)[bend left=5]to(-1.88,1);

\draw(1.4,1.24)[bend right=5]to(1.6,2);
\draw[->](1.33,1.4)[bend right=5]to(1.5,1.95);
\draw[->](1.7,1.9)[bend left=5]to(1.53,1.35);

\draw(-2.1,-0.34)[bend left=5]to(-2.4,-1.76);
\draw[->](-2.41,-1.4)[bend right=5]to(-2.26,-0.6);
\draw[->](-2.03,-0.7)[bend left=5]to(-2.23,-1.5);

\draw(1.2,0.2)[bend left=5]to(1,-0.6);
\draw[->](1.29,0.1)[bend left=5]to(1.12,-0.55);
\draw[->](0.92,-0.53)[bend right=5]to(1.06,0.08);

\draw(0.8,-1.45)[bend left=5]to(0.6,-2.18);
\draw[->](0.66,-1.6)[bend left=5]to(0.54,-2.04);
\draw[->](0.76,-2.06)[bend right=5]to(0.86,-1.63);

\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{\label{fig3.4}}
\end{minipage}

当$n=1$时，我们有下面的
\begin{corollary}\label{cor3.2.6}
设$\gamma_0$和$\gamma_1$是两条可求长的简单闭曲线，$\gamma_1$在$\gamma_0$
的内部，$D$是由$\gamma_0$和$\gamma_1$围成的域.如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$，那么
\[\int\limits_{\gamma_0}f(z)\dz=\int\limits_{\gamma_1}f(z)\dz.\]
\end{corollary}

这个推论在很多情况下都很有用.
\begin{example}\label{exam3.2.7}
设$\gamma$是一可求长简单闭曲线，$a\not\in\gamma$，试计算积分
\[\int\limits_\gamma\frac{\dz}{z-a}.\]
\end{example}
\noindent\begin{minipage}[b]{0.7\textwidth}\parindent=2em
\begin{solution}
  若$a$在$\gamma$的外部，则因$\frac1{z-a}$在$\gamma$围成的闭域上全纯，所以由Cauchy积分定理，$\int\limits_\gamma\frac{\dz}{z-a}=0$.

若$a$在$\gamma$的内部，则有充分小的$r>0$，使得$B(a,r)$落在$\gamma$的内部（图 \ref{fig3.5}）. 记$B(a,r)$的边界为$\gamma_1$，由$\gamma$和$\gamma_1$围成的域记为$D$，则$\frac1{z-a}$在$\bar D$上全纯，因而由推论 \ref{cor3.2.6}，得
\[\int\limits_\gamma\frac{\dz}{z-a}=\int\limits_{\gamma_1}\frac{\dz}{z-a}=2\pi\ii.\]
最后的等式利用了例 \ref{exam3.1.4} 的结果.
\end{solution}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.3\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,>={Stealth[width=3.5pt]}]
\draw(0,0)node[below]{$a$}circle(1);
\fill(0,0)circle(1pt);
\draw[rotate=40](0,0)ellipse(2 and 1.3);
\draw(30:1.22)node{$\gamma_1$}(120:1.43)node{$\gamma$};
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{\label{fig3.5}}
\end{minipage}

\begin{example}\label{exam3.2.8}
设$\gamma$是一可求长简单闭曲线，$a,b\notin\gamma$，试计算积分
\[I=\int\limits_\gamma\frac{\dz}{(z-a)(z-b)}.\]
\end{example}
\begin{solution}
上面的积分可写为
\[
I=\int\limits_\gamma\frac{\dz}{(z-a)(z-b)}=
\frac1{a-b}\bigg(\int\limits_\gamma\frac{\dz}{z-a}
-\int\limits_\gamma\frac{\dz}{z-b}\bigg).
\]
由例 \ref{exam3.2.7} 即可得
\begin{equation*}
I=
\begin{cases}
0,                     &\mbox{若$a,b$都在$\gamma$的外部；}\\
\frac{2\pi\ii}{a-b},   &\mbox{若$a$在$\gamma$的内部，$b$在$\gamma$的外部；}\\
-\frac{2\pi\ii}{a-b},  &\mbox{若$a$在$\gamma$的外部，$b$在$\gamma$的内部；}\\
0,                     &\mbox{若$a,b$都在$\gamma$的内部.}
\end{cases}
\end{equation*}
\end{solution}

\begin{xiti}
\item 计算积分：
\begin{enuma}
  \item $\int\limits_{|z|=r}\frac{|\dz|}{|z-a|^2},|a|\ne r$；
  \item $\int\limits_{|z|=2}\frac{2z-1}{z(z-1)}\dz$；
  \item $\int\limits_{|z|=5}\frac{z\dz}{z^4-1}$；
  \item $\int\limits_{|z|=2a}\frac{\ee^z}{z^2+a^2}\dz,a>0$.
\end{enuma}
\item 设$f$在$\{z:r<|z|<\infty\}$中全纯，且$\lim_{z\to\infty}zf(z)=A$.证明：
\[\int\limits_{|z|=R}f(z)\dz=2\pi\ii A,\]
这里，$R>r$.
\item 设$n$为正整数，试通过计算积分
\[\int\limits_{|z|=1}\bigg(z+\frac1z\bigg)^n\frac{\dz}z\]
证明
\[\int_0^{2\pi}\cos^{2n}\theta\textrm d\theta=2\pi\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}.\]
\item 设$0<r<R,f$在$B(0,R)$中全纯. 证明：
\begin{enuma}
  \item $f(0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(r\ee^{\ii\theta})\textrm d\theta$；
  \item $f(0)=\frac1{\pi r^2}\iint\limits_{|z|<r}f(z)\dx\dy$.
\end{enuma}
\item 设$u$是$B(0,R)$中的调和函数，$0<r<R$. 证明：
\[u(0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(r\ee^{\ii\theta})\textrm d\theta.\]
\item 设$0<r<1$. 证明：
\[\int_0^\pi\log(1-2r\cos\theta+r^2)\textrm d\theta=0.\]
\end{xiti}

\section{全纯函数的原函数\label{sec3.3}}
与微积分中一样，我们可以引入一个函数的原函数的概念.
\begin{definition}\label{def3.3.1}
设$f:D\to\MC$是定义在域$D$上的一个函数，如果存在$F\in H(D)$，使得$F'(z)=f(z)$在$D$上成立，就称$F$是$f$的一个\textbf{原函数}\index{Y!原函数}.
\end{definition}

如果$f\in H(D)$，是否一定存在原函数呢?答案是否定的.例如，若$D$是除去原点的单位圆盘，$f(z)=\frac1z$，$f$当然是$D$上的全纯函数.如果它在$D$上存在原函数$F$，则有$F'(z)=\frac1z$在$D$上成立，但这是不可能的.因为若上式成立，在$D$中取光滑闭曲线$\gamma:[a,b]\to D$，则有$\gamma(a)=\gamma(b)$，于是
\begin{align*}
\int\limits_\gamma\frac{\dz}z&=\int\limits_\gamma F'(z)\dz
=\int_a^bF'\big(\gamma(t)\big)\gamma'(t)\textrm dt\\
&=F\big(\gamma(b)\big)-F\big(\gamma(a)\big)=0.
\end{align*}
但由例 \ref{exam3.1.4} 知道$\int\limits_\gamma\frac{\dz}z=2\pi\ii$.这一矛盾说明$\frac1z$在$D$上不存在原函数.问题出在$D$不是单连通域.对于单连通域上的全纯函数，一定存在原函数.为此，先证明
\begin{theorem}\label{thm3.3.2}
设$f$在域$D$中连续，且对$D$中任意可求长闭曲线$\gamma$，均有$\int\limits_\gamma f(z)\dz=0$，那么
\[F(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)\textrm d\zeta\]
是$D$中的全纯函数，且在$D$中有$F'(z)=f(z)$，这里，$z_0$是$D$中一固定点.
\end{theorem}
\begin{proof}
由于$f$沿任意可求长闭曲线的积分为零，$f$的积分与路径无关，因而$F$是一单\\[1mm]
\begin{minipage}[b]{0,7\textwidth}
值函数.任取$a\in D$，我们证明$F'(a)=f(a)$.因为$f$在$a$点连续，故对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$|z-a|<\delta$时，有$|f(z)-f(a)|<\varepsilon$.今取$z\in B(a,\delta)$（图 \ref{fig3.6}），显然
\begin{align*}
F(z)-F(a)&=\int_{z_0}^zf(\zeta)\textrm d\zeta-\int_{z_0}^af(\zeta)\textrm d\zeta\\
&=\int_a^zf(\zeta)\textrm d\zeta.
\end{align*}
这里，积分在线段$[a,z]$上进行，于是
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{0.3\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=1.5pt},scale=0.8]
\draw[rotate=60](0,0)ellipse(3 and 1.7);
\draw(60:1.3)coordinate(a)node[left]{$a$}circle(0.8);
\coordinate(z0)at(-1200:1.4);
\draw(z0)node[below]{$z_0$}..controls(0.5,-1.2)and(0.9,-1)..(a)--
([turn]0:0.5)coordinate(z)node[right]{$z$};
\foreach \x in{z0,z,a}
\fill(\x)circle(1pt);
\draw(a)--node[below]{$\delta$}++(30:0.8);
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{\label{fig3.6}}
\end{minipage}
\begin{align*}
\bigg|\frac{F(z)-F(a)}{z-a}-f(a)\bigg|
&=\frac1{|z-a|}\bigg|F(z)-F(a)-f(a)(z-a)\bigg|\\
&=\frac1{|z-a|}\bigg|\int_a^zf(\zeta)\textrm d\zeta-\int_a^zf(a)\textrm d\zeta\bigg|\\
&=\frac1{|z-a|}\bigg|\int_a^z\big(f(\zeta)-f(a)\big)\textrm d\zeta\bigg|.
\end{align*}
由长大不等式，即知上式右端小于$\varepsilon$，这就证明了$F'(a)=f(a)$.
\end{proof}

作为定理 \ref{thm3.3.2} 的一个简单的推论，我们有
\begin{theorem}\label{thm3.3.3}
设$D$是$\MC$中的单连通域，$f\in H(D)$，那么$F(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)\textrm d\zeta$是$f$在$D$中的一个原函数.
\end{theorem}
\begin{proof}
在定理的假定下，由Cauchy积分定理知道，$f$沿$D$中任意可求长闭曲线的积分为零，由定理 \ref{thm3.3.2} 即得本定理.
\end{proof}

类似于微积分中的Newton--Leibniz公式，我们有
\begin{theorem}\label{thm3.3.4}
设$D$是$\MC$中的单连通域，$f\in H(D),\varPhi$是$f$的任一原函数，那么
\[\int_{z_0}^zf(\zeta)\textrm d\zeta=\varPhi(z)-\varPhi(z_0).\]
\end{theorem}
\begin{proof}
证明方法也与微积分中一样.由定理 \ref{thm3.3.3} 知，由变上限积分确定的函数$F$是$f$的一个原函数，因而
\[\big(\varPhi(z)-F(z)\big)'=f(z)-f(z)=0.\]
故由第 \ref{chap2} 章习题 \hyperlink{xiti2.2}{2.2} 的第 \hyperlink{xiti2.2.1}{1} 题知道$\varPhi(z)-F(z)$是一个常数，因而
\begin{equation*}
\int_{z_0}^zf(\zeta)\textrm d\zeta=F(z)-F(z_0)=\varPhi(z)-\varPhi(z_0).
\end{equation*}
\end{proof}

现在设$D$是多连通域，$f\in H(D)$，一般来说
\[F(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)\textrm d\zeta\]
是一个多值函数，它在$z$点的值将随着连接$z_0$和$z$的曲线变化而变动.下面看一个具体的例子：

设$D=\MC\backslash\{0\}$，则$D$是一个二连通域，$f(z)=\frac1z$是$D$中的全纯函数，我们来研究积分
\[\int_1^z\frac1\zeta\textrm d\zeta.\]
如果连接$1$和$z$的曲线$\gamma$不围绕原点（图 \ref{fig3.7}），那么$\frac1\zeta$沿$\gamma$的积分等于在实轴上从$1$到$|z|$的积分与圆弧$\gamma'$上的积分之和，即
\[\int\limits_\gamma\frac{\textrm d\zeta}{\zeta}=\int_1^{|z|}\frac{\dx}x+\int_0^{\arg z}\frac{\ii|z|\ee^{\ii\theta}}{|z|\ee^{\ii\theta}}\textrm d\theta=\log|z|+\ii\arg z=\log z.\]
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{minipage}[b]{0.48\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},scale=0.95]
\draw(0,0)node[below]{$O$}--(1,0)node[below]{$1$}--(4,0)node[below]{$|z|$}
arc(0:65:4)coordinate(z) node[above]{$z$}(4,0)--(5,0);
\foreach \x in{{0,0},{1,0},{4,0},z}
\fill(\x)circle(1pt);
\node at(30:4.3){$\gamma'$};
\draw(1,0)arc(190:110:0.9)arc(-70:50:0.9)arc(-130:-212:0.83);
\node at(40:2.6){$\gamma$};
\end{tikzpicture}
\caption{\label{fig3.7}}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[b]{0.48\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},>={Stealth[width=4pt]}]
\draw(0,0)coordinate(O)node[below left]{$O$};
\fill(0,0)circle(1pt)(1,0)node[right]{$1$}circle(1pt);
\draw(1,0)[bend right=5]to(40:1)coordinate(a)[bend right=35]to(95:1.2)
coordinate(a1)[bend right=60]to(190:1.2)coordinate(b)
[bend right=15]to(230:1)coordinate(b1)[bend right=60]to(0:0.3)
[bend right=50]to(130:0.6)coordinate(d)[bend right=20]to(b)
[bend right=40]to(-110:1.8)coordinate(b2)arc(-110:-30:0.7)coordinate(A)
[bend right=18]to(a)[bend left=20]to(60:3)coordinate(z);
\begin{scope}[very thin]
\draw[->](1,0)[bend right=5]to(25:0.96);
\draw[->](a)node[right]{$a$}[bend right=35]to(a1);
\draw[->](b)node[left]{$b$}[bend right=15]to(230:1)node[below right,inner sep=3pt]{$c$};
\draw[->](0:0.3)[bend right=50]to(130:0.6)node[above right,inner sep=3pt]{$d$};
\draw[->](b)[bend right=40]to(-110:1.8)node[below right,inner sep=3pt]{$e$};
\draw[->](A)[bend right=10]to(-20:0.764);
\draw[->](a)[bend left=10]to(61.6:2.1);
\end{scope}
\fill(z)circle(1pt)node[right]{$z$};
\end{tikzpicture}
\caption{\label{fig3.8}}
\end{minipage}
\end{figure}

\noindent 如果连接$1$和$z$的曲线$\gamma$绕原点沿反时针方向转了$2$圈（图 \ref{fig3.8}），这时沿$\gamma$的积分可以分解为沿$\wideparen{1az}$，$\wideparen{abea}$和$\wideparen{bcdb}$的积分，即
\begin{equation}\label{eq3.3.1}
\int\limits_\gamma\frac{\textrm d\zeta}{\zeta}
=\int\limits_{\wideparen{1az}}\frac{\textrm d\zeta}{\zeta}+\int\limits_{\wideparen{abea}}\frac{\textrm d\zeta}{\zeta}+\int\limits_{\wideparen{bcdb}}\frac{\textrm d\zeta}{\zeta}.
\end{equation}
由于$\wideparen{abea}$和$\wideparen{bcdb}$是两条围绕原点的简单闭曲线，故由 \ref{sec3.2} 节的例 \ref{exam3.2.7}，\eqref{eq3.3.1} 式右端的后两个积分都等于$2\pi\ii$.根据上面的计算，\eqref{eq3.3.1} 式右端的第一个积分为$\log z$，因而得
\[\int\limits_\gamma\frac{\textrm d\zeta}\zeta=\log z+4\pi\ii.\]
由此可见，随着绕原点圈数的不同，一般可得
\[\int\limits_\gamma\frac{\textrm d\zeta}\zeta=\log z+2k\pi\ii,k=0,\pm1,\cdots,\]
这恰好是对数函数$\Log z$.所以，对数函数也可用变上限的积分来定义.
\begin{xiti}
\item 设$D$是域，$f,g\in H(D)$.如果$fg'$在$D$上有原函数$\varphi$. 证明：$f'g$在$D$上有原函数$fg-\varphi$.
\item 设$D$是域，$f$是$D$上的连续函数. 如果$f$在$D$上有原函数，则对$D$中任意可求长简单闭曲线$\gamma$，均有$\int\limits_\gamma f(z)\dz=0$.
\item 设$f\in C^n(\MC)\cap H(\MC)$，并且$f^{(n)}(z)\equiv0$. 证明： $f$必为次数不大于$n$的多项式.
\item 设$\gamma$是从$0$到$1$且不经过$\pm\ii$的可求长曲线.证明：
\[\int\limits_\gamma\frac{\dz}{1+z^2}=\frac\pi4+k\pi,k=0,\pm1,\pm2,\cdots.\]
\item 设$f$是凸域$D$上的全纯函数，如果对每点$z\in D$，有$\Re \{f'(z)\}>0$，那么$f$是$D$上的单叶函数.
\end{xiti}

\section{Cauchy积分公式\label{sec3.4}}
Cauchy积分公式是Cauchy积分定理最重要的推论之一，它是全纯函数的一种积分表示，通过这种表示，我们可以证明全纯函数有任意阶导数，而且可以展开成幂级数.从它还可以推出全纯函数的其他一系列重要性质.
\begin{theorem}\label{thm3.4.1}
设$D$是由可求长简单闭曲线$\gamma$围成的域，如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$，那么对任意$z\in D$，均有
\begin{equation}\label{eq3.4.1}
  f(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
任取$z\in D$，因为$f$在$z$点连续，故对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$|\zeta-z|<\delta$时，有$|f(\zeta)-f(z)|<\varepsilon$.今取$\rho<\delta$，使得$B(z,\rho)\subset D$.记$\gamma_\rho=\{\zeta:|\zeta-z|=\rho\}$，由$\gamma$和$\gamma_{\rho}$围成的二连通域记为$D'$（图 \ref{fig3.9}），则$\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$在$D'$中全纯，在$\bar {D'}$上连续.于是，由推论 \ref{cor3.2.6} 得

\noindent\begin{minipage}{0.7\textwidth}
\begin{equation}\label{eq3.4.2}
\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta
=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma_\rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta.
\end{equation}
又因为$\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma_\rho}\frac{\textrm d\zeta}{\zeta-z}=1$，所以
\begin{equation}\label{eq3.4.3}
f(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma_\rho}\frac{f(z)}{\zeta-z}\textrm d\zeta.
\end{equation}
于是，由 \eqref{eq3.4.2} 式、\eqref{eq3.4.3} 式及长大不等式即得
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},>={Stealth[width=3pt]},scale=1.1]
\draw[rotate=60](0,0)circle(2 and 1);
\draw[rotate=60,->,thin](2,0)arc(0:310:2 and 1);
\draw(60:0.6)circle(0.4);
\fill(60:0.6)circle(1pt)node[right]{$z$};
\draw(45:1.2)node{$\gamma_\rho$}(40:2)node{$\gamma$}(-120:1.3)node{$D'$};
\draw[->,very thin]([xshift=0.4cm]60:0.6)--++(0,0.1);
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{\label{fig3.9}}
\end{minipage}
\begin{align*}
\bigg|f(z)-\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\bigg|&=\bigg|\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma_\rho}\frac{f(z)}{\zeta-z}\textrm d\zeta-\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma_\rho}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\bigg|\\
&=\frac1{2\pi}\bigg|\int\limits_{\gamma_\rho}\frac{f(z)-f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\bigg|\le\frac1{2\pi}\cdot\frac{\varepsilon}\rho\cdot2\pi\rho\\
&=\varepsilon.
\end{align*}
让$\varepsilon\to0$，即得所要证的等式 \eqref{eq3.4.1}.
\end{proof}

等式 \eqref{eq3.4.1} 称为\textbf{Cauchy积分公式}\index{G!公式!Cauchy积分公式}，它表明全纯函数在域中的值由它在边界上的值所完全确定. \eqref{eq3.4.1} 式是全纯函数的一种积分表示，通过这种表示，我们可以证明全纯函数有任意阶导数，这实际上是下面更一般的结果的一个特殊情形：

设$\gamma$是$\MC$中一条可求长曲线（不一定是闭的），$g$是$\gamma$上的连续函数，如果$z\in\MC\backslash\gamma$，那么积分
\[\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\]
是存在的，它定义了$\MC\backslash\gamma$上的一个函数$G(z)$，即
\[G(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta,\]
称它为\textbf{Cauchy型积分}\index{C!Cauchy型积分}.由Cauchy型积分确定的函数有很好的性质.
\begin{theorem}\label{thm3.4.2}
设$\gamma$是$\MC$中的可求长曲线，$g$是$\gamma$上的连续函数，那么由Cauchy型积分确定的函数
\[G(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta,\]
在$\MC\backslash\gamma$上有任意阶导数，而且
\begin{equation}\label{eq3.4.4}
  G^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\textrm d\zeta,n=1,2,\cdots.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
我们用数学归纳法来证明等式 \eqref{eq3.4.4}.先设$n=1$，我们要证明
\begin{equation}\label{eq3.4.5}
G'(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma \frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\textrm d\zeta,z\in\MC\backslash\gamma.
\end{equation}
任意取定$z_0\in\MC\backslash\gamma$，记$\rho=\inf_{\zeta\in\gamma}|\zeta-z_0|>0,\delta=\min\bigg\{1,\frac\rho2\bigg\}$，则当$\zeta\in\gamma,z\in B(z_0,\delta)$时，有$\bigg|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\bigg|<\frac12$. 于是
\begin{equation}\label{eq3.4.6}
\frac1{\zeta-z}=\frac1{\zeta-z_0}\cdot\frac1{1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}}
=\frac1{\zeta-z_0}\bigg(1+\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}+h(z,\zeta)\bigg),
\end{equation}
其中
\begin{equation}\label{eq3.4.7}
|h(z,\zeta)|\le\sum_{n=2}^\infty\bigg|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\bigg|^n
=\bigg|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\bigg|^2\sum_{n=0}^\infty \bigg|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\bigg|^n
\le\frac2{\rho^2}|z-z_0|^2.
\end{equation}
这样，由 \eqref{eq3.4.6} 式便得
\begin{align*}
G(z)&=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\\
&=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{\zeta-z_0}\textrm d\zeta+\frac{z-z_0}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z_0)^2}\textrm d\zeta
+\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)h(z,\zeta)}{\zeta-z_0}\textrm d\zeta,
\end{align*}
因而有
\begin{equation}\label{eq3.4.8}
\frac{G(z)-G(z_0)}{z-z_0}-\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z_0)^2}\textrm d\zeta=\frac1{2\pi\ii(z-z_0)}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)h(z,\zeta)}{\zeta-z_0}\textrm d\zeta.
\end{equation}
若记$M=\sup_{\zeta\in\gamma}|g(\zeta)|$，由 \eqref{eq3.4.7} 式便知 \eqref{eq3.4.8} 式右端的绝对值不超过
\[\frac{M|\gamma|}{\pi\rho^3|z-z_0|}\cdot|z-z_0|^2=\frac{M|\gamma|}{\pi\rho^3}|z-z_0|.\]
在 \eqref{eq3.4.8} 式两端令$z\to z_0$，即得
\[G'(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^2}\textrm d\zeta.\]

现设$n=k$时 \eqref{eq3.4.4} 式成立. 即
\[ G^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\textrm d\zeta,
\]
要证明
\[ G^{(k+1)}(z)=\frac{(k+1)!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+2}}\textrm d\zeta.
\]
由 \eqref{eq3.4.6} 式和二项式定理，可得
\begin{align*}
\frac{1}{( \zeta -z) ^{k+1}}&=\frac{1}{( \zeta -z_0 ) ^{k+1}}\bigg( 1+\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}+h( z,\zeta ) \bigg) ^{k+1}\\
&=\frac{1}{( \zeta -z_0 ) ^{k+1}}\bigg( 1+(k+1)\frac{z-z_0}{\zeta -z_0}+H( z,\zeta ) \bigg) ^{k+1},
\end{align*}
由 \eqref{eq3.4.7} 式便得
\begin{equation}\label{eq3.4.9}
  |H(z,\zeta)|\le C|z-z_0|^2,
\end{equation}
这里，$C$是一个常数. 于是
\begin{align*}
G^{(k)}(z)={}&\frac{k!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z)^{k+1}}\textrm d\zeta\\
&+\frac{(k+1)!}{2\pi\ii}(z-z_0)\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+2}}
\textrm d\zeta+\frac{k!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)H(z,\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}
\textrm d\zeta,
\end{align*}
即
\begin{equation}\label{eq3.4.10}
\begin{gathered}
  \frac{G^{( k )}( z ) -G^{( k )}( z_0 )}{z-z_0}-\frac{( k+1 ) !}{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma}{\frac{g( \zeta )}{( \zeta -z_0 ) ^{k+2}}\text{d}\zeta}\\
  =\frac{k!}{2\pi\ii ( z-z_0 )}\int\limits_{\gamma}{\frac{g( \zeta ) H( z,\zeta )}{( \zeta -z_0 ) ^{k+1}}\text{d}\zeta}.
\end{gathered}
\end{equation}
由 \eqref{eq3.4.9} 式便知 \eqref{eq3.4.10} 式右端的绝对值不超过$K|z-z_0|$，这里，$K$是一个常数. 在 \eqref{eq3.4.10} 式中令$z\to z_0$，即得
\[ G^{(k+1)}(z_0)=\frac{(k+1)!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{g(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+2}}\textrm d\zeta.
\]
由于$z_0$是$D$中的任意点，归纳法证明完毕.
\end{proof}

这个定理实际上证明了在现在的情况下，微分运算和积分运算可以交换，公式很便于记忆.从定理 \ref{thm3.4.1} 和定理 \ref{thm3.4.2} 立刻可得
\begin{theorem}\label{thm3.4.3}
设$D$是由可求长简单闭曲线$\gamma$围成的域，如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$，那么$f$在$D$上有任意阶导数，而且对任意$z\in D$，有
\begin{equation*}
  f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\textrm d\zeta,n=1,2,\cdots.
\end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
由定理 \ref{thm3.4.1}，$f$可写为Cauchy型积分
\[f(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta.\]
由于$f$在$\gamma$上连续，故由定理 \ref{thm3.4.2} 即得所要证的结果.
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm3.4.4}
如果$f$是域$D$上的全纯函数，那么$f$在$D$上有任意阶导数.
\end{theorem}
\begin{proof}
任取$z_0\in D$，取充分小的$\delta$，使得$\bar{B(z_0,\delta)}\subset D$.由定理 \ref{thm3.4.3}，$f$在$B(z_0,\delta)$中有任意阶导数，又由于$z_0$是任意的，所以$f$在$D$中有任意阶导数.
\end{proof}

\begin{example}\label{exam3.4.5}
计算积分
\[\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{z^2(z^2+16)}.\]
\end{example}
\begin{solution}
令$f(z)=\frac1{z^2+16}$，则$f$在$\{z:|z|\le2\}$中全纯，根据定理 \ref{thm3.4.3}，有
\[\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{z^2(z^2+16)}=2\pi\ii
\bigg(\frac1{z^2+16}\bigg)'\bigg|_{z=0}=0.\]

也可以这样计算：
\[\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{z^2(z^2+16)}=\frac1{16}
\bigg\{\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{z^2}-\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{z^2+16}\bigg\}=0.\]
这是因为，由例 \ref{exam3.1.4}，第一个积分为零；由Cauchy积分定理，第二个积分为零.
\end{solution}

类似于Cauchy积分定理，也有下面的
\begin{theorem}\label{thm3.4.6}
  设$\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_k$是$k+1$条可求长简单闭曲线，$\gamma_1,\cdots,\gamma_k$都在$\gamma_0$的内部，$\gamma_1,\cdots,\gamma_k$中的每一条都在其他$k-1$条的外部，$D$是由这$k+1$条曲线围成的域，$D$的边界$\gamma$由$\gamma_0,\gamma_1,\cdots,\gamma_k$所组成.如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$，则对任意$z\in D$，有
  \[f(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta.\]
$f$在$D$内有任意阶导数，且
\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\textrm d\zeta,n=1,2,\cdots.\]
\end{theorem}

定理的证明和前面的一样，不再重复.
\begin{example}\label{exam3.4.7}
计算积分
\[\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{(z^3-1)(z+4)^2}.\]
\end{example}
\begin{solution}
作一个中心在原点、半径为$R$（$R>4$）的大圆（图 \ref{fig3.10}），则在闭圆环
\[\{z:2\le|z|\le R\}\]
上，$f(z)=\frac1{z^3-1}$是全纯的. 于是，由定理 \ref{thm3.4.6} 得
\begin{figure}[!ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},>={Stealth[width=3pt]},scale=0.5]
\draw(0,0)node[below]{$O$}--(2,0)node[below right]{$2$}--(5,0)node[right]{$R$};
\draw(70:2)arc(70:433:2)node[above right]{$\gamma_2$};
\draw[->](70:5)arc(70:433:5)node[above right]{$\gamma_1$};
\fill(0,0)circle(2pt)(2,0)circle(2pt)(5,0)circle(2pt);
\draw[->,very thin](70:2)--++(160:0.1);
\end{tikzpicture}
\caption{\label{fig3.10}}
\end{figure}
\[\int\limits_{\gamma_1}\frac{\dz}{(z^3-1)(z+4)^2}+
\int\limits_{\gamma_2^-}\frac{\dz}{(z^3-1)(z+4)^2}=2\pi\ii\bigg(\frac1{z^3-1}\bigg)'
\bigg|_{z=-4}=-\frac{32}{1323}\pi\ii,\]
所以
\begin{equation}\label{eq3.4.11}
\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{(z^3-1)(z+4)^2}
=\frac{32\pi\ii}{1323}+\int\limits_{|z|=R}\frac{\dz}{(z^3-1)(z+4)^2}.
\end{equation}
由于当$|z|=R$时，有
\[|(z^3-1)(z+4)^2|\ge(R^3-1)(R-4)^2,\]
所以由长大不等式得
\[\bigg|\int\limits_{|z|=R}\frac{\dz}{(z^3-1)(z+4)^2}\bigg|
\le\frac{2\pi R}{(R^3-1)(R-4)^2}\to0\,\mbox{（$R\to\infty$）}.\]
故在 \eqref{eq3.4.11} 中令$R\to\infty$，即得
\[\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{(z^3-1)(z+4)^2}=\frac{32\pi\ii}{1323}.\]
\end{solution}


\begin{xiti}
\item 计算下列积分：
\begin{enuma}
  \item $\int\limits_{|z-1|=1}\frac{\sin z}{z^2-1}\dz$；
  \item $\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{1+z^2}$；
  \item $\int\limits_{4x^2+y^2=2y}\frac{\ee^{\pi z}}{(1+z^2)^2}\dz$；
  \item $\int\limits_{|z|=\frac32}\frac{\dz}{(z^2+1)(z^2+4)}$；
  \item $\int\limits_{|z|=2}\frac{\dz}{z^3(z-1)^3(z-3)^5}$；
  \item $\int\limits_{|z|=R}\frac{\dz}{(z-a)^n(z-b)}$，$n$为正整数，$a,b$不在圆周$|z|=R$上.
\end{enuma}
\item 设$\gamma$是可求长简单闭曲线，其内部为域$G_1$，外部为域$G_2$.如果$f\in H(G_2)\cap C(\bar G_2)$，而且
    \[\lim_{z\to\infty}f(z)=A,\]
那么
\[\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta=\begin{cases}
-f(z)+A,&z\in G_2;\\
A,&z\in G_1,
\end{cases}\]
这里，$\gamma$关于$G_1$取正向. 通常，称它为\textbf{无界域的Cauchy积分公式}\index{G!公式!无界域的Cauchy积分公式}.
\item 设$D$是由有限条可求长简单闭曲线围成的域，$z_1,\cdots,z_n$是$D$中$n$个彼此不同的点.如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$，证明：
    \[P(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\omega_n(\zeta)}
    \frac{\omega_n(\zeta)-\omega_n(z)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\]
是次数不超过$n-1$的多项式，并且
\[P(z_k)=f(z_k),k=1,2,\cdots,n.\]
其中，$\omega_n(z)=(z-z_1)\cdots(z-z_n)$.

（\textbf{提示}：$\frac{\omega_n(\zeta)-\omega_n(z)}{\zeta-z}$是$z$的次数不超过$n-1$的多项式.）
\item 称
\[P_n(z)=\frac1{2^nn!}\frac{\textrm d^n}{\textrm dz^n}(z^2-1)^n\]
是\textbf{Legendre多项式}\index{L!Legendre多项式}. 证明：
\begin{enuma}
  \item Legendre多项式有如下的积分表示：
  \[P_n(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\gamma\frac{(\zeta^2-1)^n}{2^n(\zeta-z)^{n+1}}
  \textrm d\zeta,\]
其中，$\gamma$是任意内部包含$z$的可求长简单闭曲线；
\item 如果取
\[\gamma=\{\zeta\in\MC:|\zeta-x|=\sqrt{x^2-1}\}\;\mbox{（$1<x<\infty$）},\]
那么有如下的\textbf{Laplace公式}\index{G!公式!Laplace公式}：
\[P_n(x)=\frac1\pi\int_0^\pi\big(x+\sqrt{x^2-1}\cos\theta\big)^n\textrm d\theta.\]
\end{enuma}
\item 设$f\in H\big(B(0,1)\big)\cap C\big(\bar{B(0,1)}\big)$. 证明：
\begin{enuma}
  \item $\frac2\pi\int_0^{2\pi}f(\ee^{\ii\theta})\cos^2\bigg(\frac\theta2\bigg)\textrm d\theta=2f(0)+f'(0)$；
  \item $\frac2\pi\int_0^{2\pi}f(\ee^{\ii\theta})\sin^2\bigg(\frac\theta2\bigg)\textrm d\theta=2f(0)-f'(0)$.
\end{enuma}

（\textbf{提示}：分别计算积分
\[\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{|\zeta|=1}\bigg(2+\zeta+\frac1\zeta\bigg)f(\zeta)
\frac{\textrm d\zeta}\zeta\]
和
\[\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{|\zeta|=1}\bigg(2-\zeta-\frac1\zeta\bigg)f(\zeta)
\frac{\textrm d\zeta}\zeta\]
即可.）
\item 利用上题结果证明：设$f\in H\big(B(0,1)\big)\cap C\big(\bar{B(0,1)}\big)$，且$f(0)=1,\Re f(z)\ge0$，那么
\[-2\le\Re f'(0)\le 2.\]
\item 设$f$在角状域$G=\bigg\{z\in\MC:0<\arg z<\frac\pi4\bigg\}$中全纯，在$\bar G$上连续.如果$f$在正实轴的区间$[a,b]$上等于零，证明：$f$在$G$中恒等于零.
\item （\textbf{Schwarz积分公式}\index{G!公式!Schwarz积分公式}）设$f\in H\big(B(0,R)\big)\cap C\big(\bar{B(0,R)}\big)$，$f=u+\ii v$. 证明：$f$可用实部表示为
    \[f(z)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R\ee^{\ii\theta}+z}{R\ee^{\ii\theta}-z}
    u(R\ee^{\ii\theta})\textrm d\theta+\ii v(0).\]
\item 设$f\in H\big(B(0,R)\big)\cap C\big(\bar{B(0,R)}\big)$，$f=u+\ii v$，则对任意$0<r\le R$，有
    \[f'(0)=\frac1{\pi r}\int_0^{2\pi}u(r\ee^{\ii\theta})\ee^{-\ii\theta}\textrm d\theta.\]
\end{xiti}

\section{Cauchy积分公式的一些重要推论\label{sec3.5}}
前面我们已经从Cauchy积分公式出发，证明了全纯函数有任意阶导数，并且得到了这些导数的积分表示，从这些表示又可得到全纯函数的另外一些重要性质.
\begin{theorem}[（\textbf{Cauchy不等式}）]\label{thm3.5.1}\index{D!定理!Cauchy不等式}
设$f$在$B(a,R)$中全纯，且对任意$z\in B(a,R)$，有$|f(z)|\le M$，那么
\begin{equation}\label{eq3.5.1}
|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!M}{R^n},n=1,2,\cdots.
\end{equation}
\begin{proof}
取$0<r<R$，则$f$在闭圆盘$\bar{B(a,r)}$中全纯，由定理 \ref{thm3.4.3}，得
\begin{equation*}
  f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi\ii}\int\limits_{|\zeta-a|=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\textrm d\zeta,n=1,2,\cdots.
\end{equation*}
于是，由长大不等式得
\[|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!}{2\pi}\cdot\frac M{r^{n+1}}\cdot2\pi r=\frac{n!M}{r^n}.\]
让$r\to R$，即得所要证的不等式 \eqref{eq3.5.1}.
\end{proof}
\end{theorem}

这个不等式给出了圆盘上全纯函数的各阶导数在圆心处值的估计，利用这个估计可以证明下面的
\begin{theorem}[（\textbf{Liouville}）]\label{thm3.5.2}\index{D!定理!Liouville定理}
有界整函数必为常数.
\end{theorem}
\begin{proof}
设$f$为一有界整函数，其模的上界设为$M$，即对任意$z\in\MC$，有$|f(z)|\le M$.任取$a\in\MC$，以$a$为中心、$R$为半径作圆，因为$f$为整函数，故由Cauchy不等式可得
\[|f'(a)|\le\frac MR.\]
这个不等式对任意$R>0$都成立，让$R\to\infty$，即得$f'(a)=0$.因为$a$是任意的，所以在全平面上有$f'(z)\equiv0$，因而$f$是常数.
\end{proof}

从Liouville定理立刻可得
\begin{theorem}[（\textbf{代数学基本定理}）]\label{thm3.5.3}\index{D!定理!代数学基本定理}
任意复系数多项式
\[P(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n,a_0\ne0\]
在$\MC$中必有零点.
\end{theorem}
\begin{proof}
如果$P(z)$在$\MC$中没有零点，那么$f(z)=\frac1{P(z)}$是一个整函数.由于$\lim_{z\to\infty}P(z)=\infty$，故当$|z|>R$时，$|f(z)|\le1$；而当$|z|\le R$时，$f$是有界的，因而$f$是一有界整函数. 由Liouville定理，$f$应是一常数.这个矛盾证明了$P$在$\MC$中必有零点.
\end{proof}

考虑到实系数多项式在实数域中未必有零点，这个定理给出了复数域的又一重要性质.

从定理 \ref{thm3.4.4} 还可得到Cauchy定理的逆定理：
\begin{theorem}[（\textbf{Morera}）]\label{thm3.5.4}\index{D!定理!Morera定理}
如果$f$是域$D$上的连续函数，且沿$D$内任一可求长闭曲线的积分为零，那么$f$在$D$上全纯.
\end{theorem}
\begin{proof}
由定理 \ref{thm3.3.2}，存在$F\in H(D)$，使得$F'(z)=f(z)$在$D$中成立.由定理 \ref{thm3.4.4}，$F$是$D$中的全纯函数，所以$f$也是全纯函数.
\end{proof}
\begin{xiti}
\item 设$f$是有界整函数，$z_1,z_2$是$B(0,r)$中任意两点.证明：
\[\int\limits_{|z|=r}\frac{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}\dz=0.\]
并由此得出Liouville定理.
\item 设$f$是整函数，如果当$z\to\infty$时，$f(z)=O(|z|^\alpha),\alpha\ge0$，证明$f$是次数不超过$[\alpha]$的多项式.
\item 设$f$是域$D$上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位于$D$中的三角形域$\varDelta$，总有$\int\limits_{\partial D}f(z)\dz=0$，那么$f$是$D$上的全纯函数.
\item 设$f$是整函数，如果
\[f(\MC)\subset\{z\in\MC:\Im z>0\},\]
证明$f$是一个常值函数.
\item 设$f$是整函数，如果
\[f(\MC)\subset \MC\backslash[0,1],\]
证明$f$是一个常值函数.
\item 设$f$在域$D$上全纯，$z_0\in D$，定义
\[F(z)=\begin{cases}
\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},&z\in D\backslash\{z_0\};\\
f'(z_0),&z=z_0.
\end{cases}\]
证明：$F\in H(D)$.
\item 设$\gamma$是可求长曲线，$f$在域$D$上连续，在$D\backslash\gamma$上全纯.证明：$f$在$D$上全纯.
\item 设$f$是域$D$上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位于$D$中的弓形域$G$，总有$\int\limits_{\partial G}f(z)\dz=0$，那么$f$是$D$上的全纯函数.如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立?
\end{xiti}

\section{非齐次Cauchy积分公式\label{sec3.6}}
设$f=u+\ii v$，如果$u,v$作为$x,y$的二元函数是可微的，而且$u,v$满足Cauchy--Riemann方程，那么$f$就是全纯函数.我们已经看到，全纯函数有一系列良好的性质.这一节中，我们只假定$u,v$具有一阶连续偏导数，但不一定满足Cauchy--Riemann方程，这就是第 \ref{chap2} 章 \ref{sec2.2} 节中提到的$C^1$函数类.我们要把Cauchy积分公式推广到这一函数类，用到的工具主要是微积分中的Green公式，但要把它写成复变数的形式.

把$z,\bar z$看成独立变量，定义微分$\dz,\dzz$的外积为
\begin{align*}
&\dz\wedge \dz=0,\\
&\dzz\wedge \dzz=0,\\
&\dz\wedge \dzz=-\dzz\wedge \dz.
\end{align*}
由于$\dz=\dx+\ii\dy,\dzz=\dx-\ii\dy$，所以
\begin{align*}
\dz\wedge\dzz&=(\dx+\ii\dy)\wedge(\dx-\ii\dy)\\
&=\ii\dy\wedge\dx-\ii\dx\wedge\dy\\
&=-2\ii\dx\wedge\dy=-2\ii\textrm dA.
\end{align*}
这里，$\textrm dA$是面积元素；$\dx,\dy$的外积定义与$\dz,\dzz$的外积定义一样，即$\dx\wedge\dx=0,\dy\wedge\dy=0,\dx\wedge\dy=-\dy\wedge\dx$.

称$z,\bar z$的函数$f(z,\bar z)$为\textbf{零次微分形式}\index{W!微分形式!零次微分形式}，$f_1(z,\bar z)\dz+f_2(z,\bar z)\dzz$为\textbf{一次微分形式}\index{W!微分形式!一次微分形式}，$f(z,\bar z)\dz\wedge\dzz$为\textbf{二次微分形式}\index{W!微分形式!二次微分形式}.定义算子$\partial$，如下：
\begin{align*}
&\partial f=\pp fz\dz,\\
&\bar \partial f=\pp f{\bar z}\dzz,
\end{align*}
这里，$\pp{}z,\pp{}{\bar z}$由第 \ref{chap2} 章 \ref{sec2.2} 节中的 \eqref{eq2.2.3} 式定义. 定义算子$\textrm d=\partial+\bar\partial$，即
\begin{equation}\label{eq3.6.1}
\textrm df=\partial f+\bar\partial f=\pp fz\dz+\pp f{\bar z}\dzz.
\end{equation}
算子$\partial,\bar\partial$对一次微分形式的作用定义为
\begin{align*}
\partial\big(f_1(z,\bar z)\dz+f_2(z,\bar z)\dzz\big)
&=\pp{f_1}z\dz\wedge\dz+\pp{f_2}z\dz\wedge\dzz=\pp{f_2}z\dz\wedge\dzz,\\
\bar\partial\big(f_1(z,\bar z)\dz+f_2(z,\bar z)\dzz\big)
&=\pp{f_1}{\bar z}\dzz\wedge\dz+\pp{f_2}{\bar z}\dzz\wedge\dzz=-\pp{f_1}{\bar z}\dz\wedge\dzz,
\end{align*}
所以
\begin{equation}\label{eq3.6.2}
  \textrm d\big(f_1(z,\bar z)\dz+f_2(z,\bar z)\dzz\big)
  =\bigg(\pp{f_2}z-\pp{f_1}{\bar z}\bigg)\dz\wedge\dzz.
\end{equation}
$\partial,\bar\partial$作用在二次微分形式上的结果都是零：
\begin{align*}
&\partial\big(f(z,\bar z)\dz\wedge\dzz\big)=\pp fz\dz\wedge\dz\wedge\dzz=0,\\
&\partial\big(f(z,\bar z)\dzz\wedge\dzz\big)=\pp fz\dzz\wedge\dz\wedge\dzz=0,
\end{align*}
因而
\begin{equation}\label{eq3.6.3}
\textrm d\big(f(z,\bar z)\dz\wedge\dzz\big)=0.
\end{equation}

定义$\textrm d^2\omega=\textrm d(\textrm d\omega)$. 当$\omega$是一$C^2$函数时，由 \eqref{eq3.6.1} 式和 \eqref{eq3.6.2} 式，得
\begin{equation}\label{eq3.6.4}
\textrm d^2\omega=\textrm d(\textrm d\omega)=\textrm d\bigg(
\pp\omega z\dz+\pp\omega{\bar z}\dzz\bigg)=\bigg(
\pppp\omega{\bar z}z-\pppp\omega z{\bar z}\bigg)\dz\wedge\dzz=0.
\end{equation}
当$\omega$是一个一次微分形式时，由 \eqref{eq3.6.2} 式知$\textrm d\omega$是一个二次微分形式，由 \eqref{eq3.6.3} 式即知$\textrm d^2\omega=0$.当$\omega$是一个二次微分形式时，由 \eqref{eq3.6.3} 式知$\textrm d^2\omega=0$.总之，不论$\omega$是零次、一次或二次微分形式，都有$\textrm d^2\omega=0$，所以$\textrm d^2=0$.

定义$\partial^2\omega=\partial(\partial\omega),\bar\partial^2\omega=
\bar\partial(\bar\partial\omega),\partial\bar\partial\omega=\partial(\bar\partial\omega),
\bar\partial\omega=\bar\partial(\partial\omega)$. 同样可以证明
\begin{equation}\label{eq3.6.5}
\begin{aligned}
&\partial^2=0,\\
&\bar\partial^2=0,\\
&\bar\partial\partial+\partial\bar\partial=0.
\end{aligned}
\end{equation}

现在证明复变数形式的\textbf{Green公式}：\index{G!公式!Green公式}
\begin{theorem}\label{thm3.6.1}
设$D$和$\partial D$如定理 \ref{thm3.2.5} 中所述，如果$\omega=f_1(z,\bar z)\dz+f_2(z,\bar z)\dzz$是域$D$上的一个一次微分形式，这里，$f_1,f_2\in C^1(\bar D)$，那么
\begin{equation}\label{eq3.6.6}
\int\limits_{\partial D}\omega=\int\limits_D\textrm d\omega.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
记$f_1=u_1+\ii v_1,f_2=u_2+\ii v_2$，这里，$u_1,v_1,u_2,v_2$是$z,\bar z$的实值函数，于是
\begin{equation}\label{eq3.6.7}
\begin{aligned}
\omega&=f_1\dz+f_2\dzz\\
&=(u_1+\ii v_1)(\dx+\ii\dy)+(u_2+\ii v_2)(\dx-\ii\dy)\\
&=\{(u_1+u_2)\dx+(-v_1+v_2)\dy\}+\ii\{(v_1+v_2)\dx+(u_1-u_2)\dy\}.
\end{aligned}
\end{equation}
由 \eqref{eq3.6.2} 式得
\begin{equation}\label{eq3.6.8}
\begin{aligned}
\textrm d\omega&=\bigg(\pp{f_2}z-\pp{f_1}{\bar z}\bigg)\dz\wedge\dzz\\
&=-\bigg\{\frac12\bigg(\pp{}x-\ii\pp{}y\bigg)(u_2+\ii v_2)
 -\frac12\bigg(\pp{}x+\ii\pp{}y\bigg)(u_1+\ii v_1)\bigg\}2\ii\textrm dA\\
&=\bigg\{\bigg(\pp{v_2}x-\pp{v_1}x-\pp{u_2}y--\pp{u_1}y\bigg)
+\ii\bigg(\pp{u_1}x-\pp{u_2}x-\pp{v_1}y-\pp{v_2}y\bigg)\bigg\}\textrm dA.
\end{aligned}
\end{equation}
根据Green公式，我们有
\begin{align}
&\int\limits_{\partial D}(u_1+u_2)\dx+(-v_1+v_2)\dy
=\int\limits_D\bigg\{\pp{}x(-v_1+v_2)-\pp{}y(u_1+u_2)\bigg\}\textrm dA,\label{eq3.6.9}\\
&\int\limits_{\partial D}(v_1+v_2)\dx+(u_1-u_2)\dy
=\int\limits_D\bigg\{\pp{}x(u_1-u_2)-\pp{}y(v_1+v_2)\bigg\}\textrm dA.\label{eq3.6.10}
\end{align}
由等式 \eqref{eq3.6.7}，\eqref{eq3.6.8}，\eqref{eq3.6.9}，\eqref{eq3.6.10} 即得我们要证明的公式 \eqref{eq3.6.6}.
\end{proof}

公式 \eqref{eq3.6.6} 在高维空间中也成立，通常称为\textbf{Stokes公式}，\index{G!公式!Stokes公式}这里只是它的一个特例.下面，我们就用它来证明$C^1$函数的Cauchy积分公式：
\begin{theorem}\label{thm3.6.2}
设$D$和$\partial D$如定理 \ref{thm3.2.5} 中所述，如果$f\in C^1(\bar D)$，那么对任意$z\in D$，有
\begin{equation}\label{eq3.6.11}
f(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta
+\frac1{2\pi\ii}\int\limits_D\pp{f(\zeta)}{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
不妨设$D$是图 \ref{fig3.11} 所示的二连通域，$D$的边界$\partial D$由$\gamma_0$和$\gamma_1$组成.任取$z\in D$，因为$f$在$z$点连续，故对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$|\zeta-z|<\delta$时，$|f(\zeta)-f(z)|<\varepsilon$. 记$\rho=\inf_{\zeta\in\partial D}|\zeta-z|>0$，取$\eta$，使得$0<\eta<\min\{\rho,\delta\}$，于是$\bar{B(z,\eta)}\subset D$. 记$B_\eta=B(z,\eta)$，令$G_\eta=D\backslash\bar B_\eta$，则$G_\eta$的边界$\partial G_\eta$由$\gamma_0,\gamma_1$和$\partial B_\eta$三条曲线组成. 考虑一次形式
\[\omega=\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta,\]
它在域$G_\eta$上满足定理 \ref{thm3.6.1} 的条件，因而有
\begin{equation}\label{eq3.6.12}
\int\limits_{\partial G_\eta}\omega=\int\limits_{G_\eta}\textrm d\omega.
\end{equation}
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
由于$\frac1{\zeta-z}$在$G_\eta$中全纯，所以
\begin{align*}
\bar\partial \omega&=\pp{}{\bar\zeta}\bigg(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\bigg)\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta\\
&=\bigg\{f(\zeta)\pp{}{\bar\zeta}\bigg(\frac1{\zeta-z}\bigg)
+\pp{f(\zeta)}{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\bigg\}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta\\
&=\pp{f(\zeta)}{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta.
\end{align*}
易知
\[\partial\omega=\pp{}\zeta\bigg(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\bigg)\textrm d\zeta\wedge\textrm d\zeta,\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[thick,every node/.style={inner sep=2pt},
>={Stealth[width=3pt]}]
\begin{scope}[rotate=70]
\draw(0,0)circle(3 and 1.5);
\draw[->,very thin](0,-1.5)arc(-90:-40:3 and 1.5);
\draw[->,very thin](3,0)arc(0:70:3 and 1.5);
\draw(1.5,0)circle(0.3);\fill(1.5,0)circle(1pt)(-1.9,0)circle(1pt);
\filldraw[xshift=-1.9cm,pattern=north east lines,draw=black](0,0)circle(0.5);
\draw[xshift=-1.9cm,->](240:0.5)--++(150:0.12);
\end{scope}
\draw(64:1.5)node{$z$}(57:2)node{$\partial B_\eta$}(-88:1.9)node{$\gamma_1$}
(1.7,-0.4)node{$\gamma_0$};
\end{tikzpicture}
\captionof{figure}{\label{fig3.11}}
\end{minipage}\\
因而
\[\textrm d\omega=\partial\omega+\bar\partial\omega=\pp{f(\zeta)}{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}
\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta.\]
这样，\eqref{eq3.6.12} 式可以写成
\begin{equation}\label{eq3.6.13}
\int\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta
-\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta
=\int\limits_{G_\eta}\pp{f(\zeta)}{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\bar\zeta\wedge
\textrm d\zeta.
\end{equation}
注意
\begin{align*}
\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta
&=\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\textrm d\zeta
+f(z)\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{\textrm d\zeta}{\zeta-z}\\
&=\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\textrm d\zeta+2\pi\ii f(z),
\end{align*}
而
\[\bigg|\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\bigg|\le\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{|f(\zeta)-f(z)|}{|\zeta-z|}
|\textrm d\zeta|\le\frac{\varepsilon}{\eta}\cdot2\pi\eta=2\pi\varepsilon,\]
由此即得
\begin{equation}\label{eq3.6.14}
\lim_{\eta\to0}\int\limits_{\partial B_\eta}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta
=2\pi\ii f(z).
\end{equation}
另一方面，由于$\pp f{\bar \zeta}$在$\bar B_\eta$上连续，故有常数$M$，使得$\bigg|\pp f{\bar \zeta}\bigg|\le M$在$\bar B_\eta$上成立.于是
\[
\bigg|\int\limits_{B_\eta}\pp f{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta\bigg|\le2\int\limits_{B_\eta}\bigg|\pp f{\bar\zeta}\bigg|\frac1{|\zeta-z|}\textrm dA\le 4M\pi\eta\to0\;\mbox{（$\eta\to0$）}.
\]
因而
\begin{equation}\label{eq3.6.15}
\begin{aligned}
\lim_{\eta\to0}\int\limits_{G_\eta}\pp f{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta&=\lim_{\eta\to0}\bigg\{
\int\limits_{D}\pp f{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta-\int\limits_{B_\eta}\pp f{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta\bigg\}\\
&=\int\limits_D\pp f{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta.
\end{aligned}
\end{equation}
在等式 \eqref{eq3.6.13} 两端令$\eta\to0$，并利用 \eqref{eq3.6.14} 式和 \eqref{eq3.6.15} 式，即得所要证明的公式 \eqref{eq3.6.11}.
\end{proof}

如果$f\in H(D)$，那么由Cauchy--Riemann方程，$\pp f{\bar \zeta}=0$，这时公式 \eqref{eq3.6.11} 右端的第二项就消失了，公式 \eqref{eq3.6.11} 就是Cauchy积分公式.所以，公式 \eqref{eq3.6.11} 是Cauchy积分公式在$C^1$函数类中的推广，有时也称为\textbf{非齐次Cauchy积分公式}\index{G!公式!非齐次Cauchy积分公式}.

公式 \eqref{eq3.6.11} 首先是由Pompeiu在1912年证明的（所以有时也称之为\textbf{Pompeiu公式}\index{G!公式!Pompeiu公式}），但长期以来似乎被人们遗忘了.直到1950年，Grothendieck和Dolbeault用它来解$\bar\partial$方程时，人们才发现它的意义所在.这就是我们在下一节中要讨论的内容.
\begin{xiti}
\item 设$D$是由有限条可求长简单闭曲线围成的域，$f\in C^1(\bar D)$.证明：
\begin{enuma}
  \item $\iint\limits_D\pp{f(\zeta)}{\bar\zeta}\textrm d\bar\zeta\wedge\textrm d\zeta=\int\limits_{\partial D}f(\zeta)\textrm d\zeta$；
  \item $\iint\limits_D\pp{f(\zeta)}{\zeta}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta=\int\limits_{\partial D}f(\zeta)\textrm d\bar\zeta$.
\end{enuma}
\item 设$D$是由有限条可求长简单闭曲线围成的域，$f,g\in C^1(\bar D)$. 证明（\textbf{Green公式}\index{G!公式!Green公式}）：
\[\iint\limits_D\bigg(\pp{g(\zeta)}\zeta-\pp{f(\zeta)}{\bar\zeta}\bigg)
\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta=\int\limits_{\partial D}
\big(f(\zeta)\textrm d\zeta+g(\zeta)\textrm d\bar\zeta\big).\]
\item 设$D$是由有限条光滑简单闭曲线围成的域，$\boldsymbol n$是$\partial D$的单位法向量场，指向$D$的外部，$u,v\in C^2(\bar D)$. 证明：
\begin{enuma}
  \item $\iint\limits_Du(z)\Delta v(z)\dx\dy+\iint\limits_D\bigg(
  \pp{u(z)}x\pp{v(z)}x+\pp{u(z)}y\pp{v(z)}y\bigg)\dx\dy=\int\limits_{\partial D}
  u(z)\pp{v(z)}{\boldsymbol n}|\dz|$；
  \item $\iint\limits_D\big(u(z)\Delta v(z)-v(z)\Delta u(z)\big)\dx\dy
  =\iint\limits_{\partial D}\bigg(u(z)\pp{v(z)}{\boldsymbol n}
  -v(z)\pp{u(z)}{\boldsymbol n}\bigg)|\dz|$.
\end{enuma}
\item 设$D$是由有限条可求长简单闭曲线围成的域，$f$在$\bar D$上全纯，$z\in D$. 证明：
\[\iint\limits_D\frac{f'(\zeta)}{\bar\zeta-\bar z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta
=\int\limits_{\partial D}\bigg(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta+\frac{f(\zeta)}{\bar \zeta-\bar z}\textrm d\bar\zeta\bigg).\]
\end{xiti}

\section{一维 \texorpdfstring{$\bar \partial$}{∂̅}问题的解}
所谓一维$\bar\partial$问题，是指在域$D$上给定一个函数$f$，要求函数$u$，使得在$D$上有
\[\pp{u(z)}{\bar z}=f(z),z\in D.\]
$u$就称为$\bar\partial$问题的解. \ref{sec3.6} 节介绍的非齐次Cauchy积分公式可以用来构造$\bar\partial$问题的解.为此需要一个引理，这个引理在讨论其他问题时也很有用.
\begin{definition}\label{def3.7.1}
设$\varphi$是$\MC$上的函数，使$\varphi$不取零值的点集的闭包称为$\varphi$的\textbf{支集}，\index{Z!支集}记为$\supp\varphi$，即
\[\supp\varphi=\bar{\{z\in\MC:\varphi(z)\ne0\}}.\]
\end{definition}
\begin{lemma}\label{lemma3.7.2}
设$a$是$\MC$中任意一点，$0<r<R$，则必存在$\varphi$，满足下列条件：
\begin{eenum}
  \item $\varphi\in C^{\infty}(\MC)$；
  \item $\supp\varphi\subset B(a,R)$；
  \item 当$z\in\bar{B(a,r)}$时，$\varphi(z)\equiv1$；
  \item 对于任意$z\in\MC,0\le\varphi(z)\le1$.
\end{eenum}
\end{lemma}
\begin{proof}
令$r<R_1<R$和
\begin{align*}
&h_1(z)=\left\{\begin{aligned}
&\ee^{\frac1{|z-a|^2-R_1^2}},&&z\in B(a,R_1);\\
&0,&&z\notin B(a,R_1),
\end{aligned}\right.\\
&h_2(z)=\left\{\begin{aligned}
&0,&&z\in \bar{B(a,r)};\\
&\ee^{\frac1{r^2-|z-a|^2}},&&z\notin\bar{B(a,r)},
\end{aligned}\right.
\end{align*}
那么$h_1,h_2\in C^\infty(\MC)$. 又令
\[\varphi(z)=\frac{h_1(z)}{h_1(z)+h_2(z)},\]
则$\varphi\in C^\infty(\MC)$. 而且当$z\in \bar{B(a,r)}$时，$\varphi(z)\equiv1$；当$z\notin B(a,R_1)$时，$\varphi(z)\equiv0$，即$\supp\varphi\subset B(a,R)$.对于任意$z\in\MC,0\le\varphi(z)\le1$显然成立. $\varphi$即为所求的函数.
\end{proof}

现在可以证明
\begin{theorem}\label{thm3.7.3}
设$D$是$\MC$中的域，$f\in C^1(D)$.令
\begin{equation}\label{eq3.7.1}
u(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_D\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar \zeta,z\in D,
\end{equation}
则$u\in C^1(D)$，且对任意$z\in D$，有$\pp{u(z)}{\bar z}=f(z)$.
\end{theorem}
\begin{proof}
把$f$的定义扩充到整个复平面，对于$z\notin D$，定义$f(z)=0$. 这时，\eqref{eq3.7.1} 式可写为
\[u(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC f(\zeta+\eta)\frac1\eta\textrm d\eta\wedge\textrm d\bar\eta.\]
由$f\in C^1(D)$，可得$u\in C^1(D)$.

现固定$a\in D$，我们证明
\[\pp{u(a)}{\bar z}=f(a).\]
为此，取$0<\varepsilon<r$，使得$B(a,\varepsilon)\subset B(a,r)\subset D$. 根据引理 \ref{lemma3.7.2}，存在$\varphi\in C^\infty(\MC)$，使得当$z\in B(a,\varepsilon)$时，$\varphi(z)\equiv1$；而当$z\notin B(a,r)$时，$\varphi(z)\equiv0$.记
\begin{align*}
&u_1(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC\frac{\varphi(\zeta)f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar \zeta,\\
&u_2(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC\frac{f(\zeta)-\varphi(\zeta)f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar \zeta,
\end{align*}
那么$u=u_1+u_2$. 由于当$\zeta\in B(a,\varepsilon)$时，$f(\zeta)-\varphi(\zeta)f(\zeta)\equiv0$，所以
\[u_2(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{\MC\backslash B(a,\varepsilon)}\frac{\big(1-\varphi(\zeta)\big)f(\zeta)}{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar \zeta.\]
因而，当$z\in B(a,\varepsilon)$时，$u_2$是全纯函数，所以$\pp{u_2}{\bar z}=0$. 于是，在小圆盘$B(a,\varepsilon)$上就有
\begin{equation}\label{eq3.7.2}
\begin{aligned}
\pp u{\bar z}&=\pp{u_1}{\bar z}\\
&=\pp{}{\bar z}\bigg\{\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC\frac{\varphi(z+\eta)f(z+\eta)}\eta\textrm d\eta\wedge\textrm d\bar\eta\bigg\}\\
&=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC\bigg\{\pp{(\varphi f)}\zeta\pp\zeta{\bar z}
\pp{(\varphi f)}{\bar \zeta}\pp{\bar \zeta}{\bar z}\bigg\}\frac1\eta\textrm d\eta\wedge\textrm d\bar\eta\\
&=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC\pp{(\varphi f)}{\bar\zeta}\frac1\eta\textrm d\eta\wedge\textrm d\bar\eta\\
&=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_\MC\pp{(\varphi f)}{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta\\
&=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{B(a,r)}\pp{(\varphi f)}{\bar\zeta}\frac1{\zeta-z}
\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta.
\end{aligned}
\end{equation}
最后一个等式成立是因为当$\zeta\in\MC\backslash B(a,r)$时，$\varphi(\zeta)\equiv0$. 又因为当$\zeta\in\partial B(a,r)$时$\varphi(\zeta)\equiv0$，所以根据非齐次Cauchy积分公式，有
\[\varphi(z)f(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{B(a,r)}\pp{(\varphi f)}{\bar\zeta}
\frac1{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta.\]
因为当$z\in B(a,\varepsilon)$时$\varphi(z)=1$，所以
\begin{equation}\label{eq3.7.3}
f(z)=\frac1{2\pi\ii}\int\limits_{B(a,r)}\pp{(\varphi f)}{\bar\zeta}
\frac1{\zeta-z}\textrm d\zeta\wedge\textrm d\bar\zeta.
\end{equation}
比较 \eqref{eq3.7.2} 式和 \eqref{eq3.7.3} 式，即得
\[\pp{u(z)}{\bar z}=f(z).\]
特别地，取$z=a$，即得
\[\pp{u(a)}{\bar z}=f(a).\]
由于$a$是$D$中的任意点，所以$\pp{u(z)}{\bar z}=f(z)$在$D$上成立.
\end{proof}

在上面的证明中，容易看出，如果$f\in C^\infty(D)$，那么$\bar\partial$问题的解$u\in C^\infty(D)$.

在多复变数函数论中，$\bar\partial$问题解的存在性以及解的可微性质是一个十分重要的研究课题，它有许多重要的应用.这里讨论的一维$\bar\partial$问题的解在证明一般域上的Mittag--Leffler定理（定理 \ref{thm5.6.2}）、Weierstrass 因子分解定理（定理 \ref{thm5.6.3}）和插值定理（定理
 \ref{thm5.6.4}）时将要用到.
\begin{xiti}
\item 设$D$是域，$K\subset D$是紧集. 证明：存在开集$G$和函数$\varphi\in C^\infty(D)$，满足：
\begin{enuma}
  \item $K\subset G\subset \bar G\subset D$；
  \item $0\le\varphi(z)\le1,\forall z\in D$；
  \item $\varphi(z)=1,\forall z\in G$；
  \item $\supp\varphi\subset D$.
\end{enuma}
\item 设$D$是域，$f\in C^\infty(D)$. 证明：若$u_0\in C^\infty(D)$是非齐次$\bar\partial$方程的解，即$\pp{u_0}{\bar z}=f$，则该方程的解的全体为$u_0+H(D)$.
\item 设$D$是域，$a\in D,B(a,R)\subset D,f$在$B(a,R)\backslash\{a\}$上全纯. 证明：存在$D\backslash\{a\}$上的全纯函数$F$，使得$\lim_{z\to a}[F(z)-f(z)]=0$，因此$F-f\in H\big(B(a,R)\big)$.
\item 举例说明，存在$f\in C^\infty(\MC)$，$\supp f$是紧集，但非齐次$\bar\partial$方程$\pp u{\bar z}=f$的任意解没有紧支集.
\end{xiti}
